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发布日期：2026-10-05 07:24    点击次数：171

克雷西 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

「AI不可能对最顶端的数学家有任何影响」……吗？

说出这句话的丘成桐，当前依然用上AI赞成究诘了。

何况管制的问题，如故44年前他切身列入我方的问题清单的。

丘成桐参与的最新论文，在致谢里感谢了GPT 6 Astra和Claude Pro，说它们赞理探索了部明白释念念路和贪图。

这篇论文处理的是微分几何里的一个经典预想。

问题关注的是七维空间，当中的球面有28种不同的「版块」，其中27种和咱们熟识的球面机密地不同，数学上叫「怪球」。

数学家一直想知谈，这些怪球能不成像普通球面雷同，每个地点都均匀地向内弯。

怪球1956年就被发现了，但这个波折的问题悬了70年。丘成桐1982年把它列进我方的问题清单，排第二位。

当前，这篇AI赞成的论文终于给出了谜底。

七维空间的27种「怪球」

1956年，好意思国数学家米尔诺（John Milnor）构造出了一种奇怪的东西。

它和圭臬的七维球面在拓扑上敷裕雷同，你不错把它瞎想成一团橡皮泥，马虎揉握、拉伸，都能变成普通的球面。

关联词若是你辞让揉握，只允许光滑地变形，也即是每一个点的迁徙神色都精真金不怕火过渡、不许有突变，它就变不且归了。

这种球面和圭臬球面「体式雷同，手感不同」，数学上叫作念「怪球」（exotic sphere）。

米尔诺凭借这个发现拿了菲尔兹奖。

七年之后，科维尔（Kervaire）和米尔诺解释，七维空间里这种「光滑版块」一共有28种。

圭臬球面算其中一种，其余27种都是怪球，这28种组成一个代数结构，数学上记作Θ₇ ≅ Z/28Z。

圭臬球面有一个很好的性质，它的「截面曲率」（sectional curvature）处处为正。

平日地说，即是这个球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内波折的，莫得任何一个地点是平的或者向外翻的。

数学家当然想知谈，另外那27个怪球，能不成也作念到这极少。

开始得到冲破的是格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）。1974年，他们在一个怪球上构造出了「非负曲率」的度量。

也即是说，这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。

2020年，格特（Goette）、凯林（Kerin）沙门卡尔（Shankar）把这个终结践诺到了全部28种球面，解释每一种都能配上非负曲率的度量。

但从「非负」到「正」，也即是从「允许有些地点不弯」到「每个地点都必须弯」，中间还差终末一步。

这一步看似细小，内容上卡了数学界半个多世纪。

2008年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）也曾发布预印本宣称在一个怪球上作念到了正曲率，但他们的解释恒久莫得通过同业评审。

丘成桐参与的这篇论文宣称补上了从「非负」到「正」的这一步，它解释28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。

若是这个终结最终被数学界禁受，那么这个悬了许久的问题，将被澈底管制。

两块圆盘，一谈接缝

为什么从「非负」跨到「正」这样难？其中一个原因很机密。

布伦德尔（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定清爽释过，若是一个流形上的正曲率太均匀，也即是在职意极少、轻易方进取，最大曲率和最小曲率之比都不突出4，那这个流形一定和圭臬球面「光滑等价」。

换句话说，怪球上的正曲率必须正，但不成正得太均匀，不然它就不再是怪球了，因此留给构造的空间极为短促。

论文的中枢念念路，是把每一个怪球切成两半。

具体地说，作家遴荐了杜兰（Durán）、普特曼（Püttmann）和里加斯（Rigas）提倡的「双圆盘模子」。

在这个模子里，每一种七维球面都不错手脚两个七维圆盘沿着各自的限制粘合而成，28种球靠近应28种不同的粘合神色。

△AI生成

于是，问题就变成了：能不成在每块圆盘上分辨造出一个处处向内弯的度量，何况两块圆盘在接缝处严丝合缝。

作家并不是径直在七维圆盘上造度量，他们先以三维球面S³ 为纤维的「主丛」（principal bundle），把问题搬到了一个十维空间里。

具体来说，在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，通盘这些小球加在沿途，就组成了一个十维的空间。

在这个十维空间上造度量，手艺上更容易终结。

然后，他们通过一种叫作念「黎曼磨灭」（Riemannian submersion）的操作，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。

这里有一个要津的数学器具叫作念「奥尼尔公式」（O’Neill formula）。

这个公式保证了一件事：从十维投影到七维之后，曲率只会变大或不变，不会变小。

是以作家只需要在十维空间里把曲率作念到正的，投影下来的七维度量就自动得志要求。

而在十维空间里作念到正曲率的中枢妙技，是把那些三维小球的「半径」取到极小。

纤维越细，它本身的波折经过就越大，这份纷乱的曲率足以压住其他方进取可能出现的负曲率孝敬。

关联词，两块圆盘的构造循序并不合称。

「南盘」用的是一个波折的底盘加上用心中式的王人集（connection），「北盘」用的则是扁平的乘积王人集配合翘曲的径向抽象。

两种循序各有各的手艺难点，但它们在限制处必须完好对接，具体需要得志两个要求。

一是限制上指点出的度量要敷裕一致，二是两侧的「第二基本花式」（second fundamental form），也即是限制处的波折经过，加起来之后在每个方进取都严格为正。

△AI生成

为了解释这两个要求，论文先在两块圆盘的大众限制上确立归并套坐标，然后解释在这套坐标下，两侧的纤维半径对于法向的导数刚好相悖。

是以，纤维部分对第二基本花式的孝敬在拼接时正值对消，而角向部分的孝敬加起来是严格为正的。

得志这两个要求之后，赖泽（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保证，粘合后的通盘球面上存在一个光滑的正曲率度量。

于是，论文得到了其中枢论断，28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。

论文还附带了一套用SageMath编写的考据代码。

通盘构造波及多半曲率不等式的精准忖度和参数中式，仅靠东谈主工一一核查着实不可能完成，贪图机考据在这里是解释真正度的紧迫相沿。

丘成桐与AI这三年

丘成桐对AI的气派，这几年资格了一条明晰的变化轨迹。

2023年4月，在复旦大学出席浦江科学人人讲坛前夜，他曾示意，「AI不可能对最顶端的数学家有任何影响，它还只可把现存的而已交融相识，很难造成科学不雅念上的冲破」。

2024年4月，他在中关村论坛上的说法稍许软化了一些，他对AI的看法从「不会有任何影响」，变成了「对数学有许多公正，不错匡助数学的发展」，不外他相持以为AI不可能调动数学。

到了本年，他的口风依然清澈不同。

1月份活着界华东谈主数学家大会上，他说AI调动的是科研终结，但还谈不上范式翻新；

6月份，他又说AI能解许多「nice, cute questions」，但离调动通盘数学的冲破还很远；

7月份在海外弦表面大会上，他依然主张学生应该尽早学习使用AI器具，以为查而已、找文件、归纳回想这些事情，AI都能帮上忙。

然后即是这篇论文，他和两位合营者在致谢里感谢了ChatGPT 6 Astra和Claude Pro「在部明白释政策的探索和贪图中提供的匡助」。

论文紧接着补了一句，东谈主工考据和论文写稿的牵累由作家我方承担，尽管依然克制，但和三年多之前的那句「不会有任何影响」比拟，丘依然不再把AI挡在我方的究诘除外了。

总之，AI在数学界的存在感依然强到让顶尖数学家集体表态。

陶哲轩是这一波AI波浪里最早拥抱AI的顶尖数学家，他把AI当作「究诘助理」，用它赞成代码生成、文件检索和花式化解释考据。

但他和本年的菲尔兹奖得主邓煜等25位菲尔兹奖得主统一发表了一份声明，劝诫AI公司把管制数学问题当作benchmark来冲刺的作念法，与数学共同体的指标依然出现「严重偏移」。

在他们看来，数学究诘的中枢追求是认识清爽与洞见，解题仅仅杀青这个指办法器具。

丘成桐也抒发过相似的不雅点。

就在论文发出四天之前，他示意，AI简略收集既有学问、鼓励成例使命，但东谈主频频因为依然得到想要的谜底，反而不敢去问更紧迫的问题。

他以为，AI无法替代东谈主类相当的原创念念考和瞬时迸发的灵感。

丘成桐和陶哲轩对AI的心情，其实是重迭的，他们都在追问归并件事，即是当AI越来越能解题，数学家还愿不肯意赓续去问那些AI解不了的问题。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2609.29426

— 完 —

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